А.М. ОСТРОВИДОВ, И.А. КУЗНЕЦОВ

ТАБЛИЦЫ
ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МОСТОВ

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
АВТОТРАНСПОРТНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1959

Содержание

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ

ДАННЫЕ К СТАТИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Глава 8

ГЕОМЕТРИЯ ФИГУР И ТЕЛ

§ 28. Геометрические характеристики плоских фигур. Объемы и поверхности геометрических тел

Глава 9

МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР

§ 29. Простые геометрические фигуры

§ 30. Площади F, периметры S и моменты сопротивления Wx и Wy некоторых поперечных сечений мостовых опор

Глава 10

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК

§ 31. Балки однопролетные и консольные

§ 32. Неразрезные многопролетные балки

§ 33. Деформации балок

§ 34. Формулы интегрирования типовых эпюр

Глава 11

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА РАМ

§ 35. Рамы однопролетные, двухпролетные и трехпролетные

Глава 12

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА АРОК

§ 36. Очертание осей арок

§ 37. Изменение сечений арок

§ 38. Определение усилий в бесшарнирных арках

§ 39. Определение усилий в двухшарнирных арках

§ 40. Определение усилий в трехшарнирных арках

Глава 13

БОКОВОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ

§ 41. Общие данные

§ 42. Основные случаи загружения подпорной стенки

§ 43. Давление земли от временной нагрузки

§ 44. Определение давлений грунта по таблицам С.В. Зелепугина

В справочнике приводятся основные данные для проектирования мостов и труб: таблицы по расчету отверстий, основные сведения о главнейших строительных материалах, таблицы для статического расчета конструкций, а также нормативные материалы по габаритам, расчетным нагрузкам, допускаемым напряжениям и пр.

Справочник рассчитан на инженеров, студентов вузов и техников, проектирующих мосты.

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ

ДАННЫЕ К СТАТИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Глава 8

ГЕОМЕТРИЯ ФИГУР И ТЕЛ

§ 28. Геометрические характеристики плоских фигур. Объемы и поверхности геометрических тел

Таблица 133

Геометрические характеристики плоских фигур
В нижеследующих формулах F - площадь фигуры

Фигура

Общие формулы

Прямоугольный треугольник

m и n - отрезки на гипотенузе, отсекаемые перпендикуляром p

a2 + b2 = c2; c = m+ n;
a = csinA = btgA; b = ccosA;

Косоугольный треугольник

R - радиус описанного круга;

r - радиус вписанного круга;

2S - периметр;

ha, hb и hc - высоты;

ma, mb и mc - медианы




Правильный равносторонний треугольник

a - сторона;

h - высота;

R - радиус описанного круга;

r - радиус вписанного круга


Четырехугольник

Общий случай

D1 и D2- диагонали;

φ - угол между ними;

 - полупериметр;

m - линия, соединяющая середины диагоналей


Если четырехугольник вписан в круг, то

 и ac +bd = D1D2.

Радиус описанного круга:

Параллелограмм



Прямоугольник

R - радиус описанного круга;

r - радиус вписанного круга

Для квадрата:

Трапеция



Несимметричная трапеция с двумя прямыми углами


Симметричная трапеция

Четырехугольник с одним пряным углом



Произвольный четырехугольник






Правильный шестиугольник


Скрещенный четырехугольник


Круг

β - центральный угол в радианах;

β° - центральный угол в градусах;

a - окружность





 где k -  длина хода половинной дуги

Круговой сегмент

Приблизительно для пологих сегментов:

Круговой сектор

Другие элементы дуги круга


Координаты конца дуги:


Радиус дуги:

где S – длина дуги;
β – центральный угол в радианах

Отрезок кольца


Эллипс

a и b - полуоси

F = πab

Длина эллипса:

u ≈ 2aψ.

Значения коэффициента ψ приведены в следующей таблице:

Таблица

ψ

ψ

ψ

0,10

2,032

0,48

2,398

0,75

2,763

0,20

2,102

0,50

2,423

0,76

2,778

0,22

2,120

0,52

2,448

0,78

2,807

0,24

2,138

0,54

2,474

0,80

2,836

0,25

2,147

0,55

2,487

0,82

2,865

0,26

2,156

0,56

2,500

0,84

2,895

0,28

2,175

0,58

2,527

0,85

2,910

0,30

2,145

0,60

2,553

0,86

2,926

0,32

2,215

0,62

2,580

0,88

2,956

0,34

2,230

0,64

2,607

0,90

2,986

0,35

2,247

0,65

2,621

0,92

3,017

0,36

2,258

0,66

2,635

0,94

3,048

0,38

2,280

0,68

2,663

0,95

3,063

0,40

2,302

0,70

2,691

0,96

3,079

0,42

2,325

0,72

2,719

0,98

3,110

0,44

2,349

0,74

2,748

 

 

0,45

2,361

 

 

 

 

0,46

2,373

 

 

 

 

Парабола

Уравнение, отнесенное к хорде:

Тангенс угла наклона касательной к горизонтальной оси;

Значения ординаты параболы и tgφ приведены в следующей таблице.

Таблица

№ точек

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Множитель

Абсцисса x

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

l

Ордината y

0,00

0,19

0,36

0,51

0,64

0,75

0,84

0,91

0,96

0,99

1,00

f

tgφ

4,0

3,6

3,2

2,8

2,4

2,0

1,6

1.2

0,8

0,4

0,0

f/l

при x = 0

при x = 0,25l

Длина всей дуги параболы от x = 0 до x = l

При f < 0,4l

Площадь, ограниченная параболой:

Площади, расположенные под данной кривой (приближенные вычислении)

а) Элементарная формула Симпсона.

Если y - целая функция x не выше 3-й степени, то искомая площадь равна:

б) Формула трапеций.

Разбивают интервал b - a на большое число (n) равных частей.

Тогда площадь:

в) Правило Симпсона (параболическая формула).

Делят абсциссу в интервале от a до b на четное число (2n) равных частей и вычисляют ординаты y0, y`, y2,…, y2n.

Тогда площадь:

Прямая и наклонная призмы

а) Для прямой призмы:

M = Uh,

где U - периметр основании;

Q = Uh + 2F;

V = Fh.

б) Для наклонной призмы с параллельными основаниями:

V = Nl,

где N - площадь нормального к ребрам сечения;

l - длина ребра

Усеченная трехгранная призма

где F - площадь нормального к ребрам сечения

Цилиндр (прямой)

M = πdh;

Наклонный цилиндр (основании параллельны)

V = Nl,

где N - площадь сечения, нормального к образующей

Усеченный цилиндр


Полый цилиндр (труба)



δ - толщина стенки

Цилиндрическим клин



При 2φ = π; хорда 2a = 2r; b = r и M = 2rh;

При 2φ = 2π; хорда 2a = 0; b = 2r и M = πrh;

Цилиндрический круговой с под


Призмойд (тело, ограниченное двумя параллельными основаниями и произвольным числом плоских боковых граней)

Плоскость f параллельна плоскости F, Fm - площадь среднего сечения.

По формуле Симпсона

Обелиск (с прямоугольными основаниями)

Клин (с прямоугольным основанием)

Пирамида

M равна сумме площадей ограничивающих треугольников

Усеченная пирамида

Круглый конус (прямой)


M = πrS;

Усеченный круговой конус


M = π(R + r)S;

Эллиптический конус

где a и b - полуоси эллипса основании

Усеченный эллиптический конус

где A и B - полуоси эллипса нижнего основания;

a и b - полуоси эллипса верхнего основания

Шар


Пустотелый шар

При очень тонкой стенке, толщиной δ, объем можно определять приближенно по формуле:

V ≈ 4πRm2δ,

где Rm - средний радиус

Шаровой сегмент

a2 = h(2R - h);

Шаровой сектор

Q = πR(2h + a)

Шаровой слой (шаровой пояс)

Q = 2πRh

Эллипсоид

a, b, c, - полуоси

Эллипсоид вращения (c = b и 2a - ось вращения):

Параболоид вращения

Параболоид, усеченный двумя параллельными основаниями, перпендикулярными к оси

Земляные подходы к мосту1

Для приближенного подсчета объемов работ по подходам можно пользоваться следующими формулами.

Обозначения:

L - длина земляной призмы;

H - высота насыпи в месте сопряжения с мостом;

i1 - уклон дороги в пределах въезда;

i2 - средний уклон естественной поверхности грунта;

B - ширина насыпи поверху;

m - отношение заложения откоса насыпи к высоте.

Объем земляной призмы:

при полуторных откосах (m = 1,5):

Объем конуса (на всю ширину насыпи), не учитывая влияния уклона естественной поверхности земли:

Площадь поверхности конуса:

Площадь поверхности двух откосов:

Длина откоса:

 

1 Е.Е. Гибшман, А.А. Герцоги А.Ф. Скрипко. Материалы для вариантного проектирования автодорожных мостов Гострансиздат, 1936.

Глава 9

МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР

§ 29. Простые геометрические фигуры

Таблица 135

Моменты инерции, радиусы инерции, моменты сопротивления и площади некоторых плоских фигур

Наименование

Форма сечения

Площадь сечении F

Расстояние от центральной оси до крайнего волокна y

Момент инерции I

Момент сопротивления W

Радиус инерции

Прямоугольник

 

bh

bh

bh

Прямоугольники

с вырезом

bh - b1h1

 

Два прямоугольника

b(h – h1)

 

С вырезом

a2 – b2

 

Параллелограмм

bh

Треугольник

 

 

 

Трапеция

 

 

 

Прямоугольник с трапецией

 

ad – (a - b)h

 

Устой с обратными стенками

 

Ix = I1 – Fy2

 

 

Тавр

 

d0h + bd

y2 = h – y1

-

-

Бык с симметричными закруглениями

 

bd + πR2

 

 

Круг и его части

Круг

 

Полукруг

 

Полукруг

x = 0,2122d

 

 

Круговой сектор

 

 

 

Квадрант

Wx = 0,096R3

 

 

Кольцо

 

Полукольцо

 

 

 

Круговой треугольник

y1 = 0,7766R;

y2 = 0,2234R

Ix = 0,0075R4;

I1 = 0,137R4

Wx = 0,00966R3

rx = 0,18693R

 

Круг без двух сегментов

 

 

 

Круг без четырех сегментов (с обзолами)

F1, F2, F3, F4 - площади обзолов

 

 

 

 

Сегмент

до центра тяжести

 

 

 

шестиугольник

x = R

 

Восьмиугольник

a = 0,7653R;

h = 2,414a

Wx = 0,6906R3 = 1095h3;

W1 = 0,6381R3 = 0,1012h3

rx = 0,475R = 0,257h

 

Правильный многоугольник

Число сторон - n;

α = 180°:n;

r = Rcosα

Эллипс и его части

Эллипс

F = πab

 

Wx = 0,7854b2a;

Wx = 0,7854a2b

 

Эллиптическое кольцо

F = π(ab - a0b0)

 

 

Половина эллипса

 

Четверть эллипса

 

Эллиптический треугольник

Wx = 0,00966ba3

rx = 0,18693a

Параболы

Парабола x2 = 2py

-

-

 

Парабола y2 = 2px

b

 

 

Для половины параболы

От оси 1 – 1

-

-

 

Треугольник параболы y2 = 2px

-

-

 

Парабола xn = py

 

 

 

Парабола yn = px

b

 

 

Половина параболы

 

Треугольник параболы yn = px

 

 

Разные фигуры

 

F = BH + bh

 

 

F = HB - hb

 

 

F = Ha + bd =

= BH - b(y2 +h)

где:

(b = B - a)

y2 = H - y1

 

 

F = Ha + b1d1 + B1d, где:

(b1 = b - a)

(B1 = B - a)

y2 = H - y1


§ 30. Площади F, периметры S и моменты сопротивления Wx и Wy некоторых поперечных сечений мостовых опор

Симметричное поперечное сечение с закругленными гранями (рис. 26):

Рис. 26. Сечение опоры с закругленными гранями

Значения коэффициентов Kf, Ks, Kx и Ky даны в табл. 136.

Таблица 136

Значения коэффициентов Kf, Ks, Kx,, Ky (см. рис. 26)

n

Kf

Ks

Kx

Ky

1,0

1,7854

5,1416

0,2648

0,4954

2,0

2,7854

7,1416

0,4315

1,2230

3,0

3,7854

9,1416

0,5982

2,2831

4,0

4,7854

11,1416

0,7648

3,6763

5,0

5,7854

13,1416

0,9315

5,4027

6,0

6,7854

15,1416

1,0982

7,4623

Симметричное поперечное сечение со срезанными углами (рис. 27):

Рис. 27. Сечение опоры прямоугольной формы со скошенными углами

F = ac – 2e2;

S = 2(c + a - 1,17e)

Симметричное поперечное сечение с закругленными углами (рис. 28):

Рис. 28. Сечение опоры прямоугольной формы с закругленными углами

Значения коэффициентов Kf, Kx, Ky даны в табл. 138.

Симметричное поперечное сечение с заостренными гранями (рис. 29).

Рис. 29. Сечение опоры с заостренными передними гранями

e = 1,1547r;

p = 0,866(a - e);

z = a - 1,732e;

F = [n + 0,866(1 - m2) - 0,006 - 0,161m2]a2 = KFa2.

Длина периметра с учетом выкружек:

S = (2п + 3,975 - 2,373т)а;

Wx = [0,1667n + 0,0722(1 - m4)]a3 = Kxa3;

Коэффициенты Kf, Kx, и Ky даны в табл. 139.

Поперечное сечение быка с ледорезом (рис. 30):

Рис. 30. Сечение опоры с ледорезом

α = 30°;

β = 60°;

e = 2rtg30° = 1,155r.

Площадь сечения с учетом выкружек:

F = a2(n + 0,823 - 0,514m2) = KFa2;

S = a (2n + 3,558 - 1,185m) = KSa.

Значения W даются для контура 1-2-3-4-5-6-7.

Центр тяжести сечения принят в точке О, неточность в определении Wy при этом не превышает 5%.

Wx = a3(0,167n + 0,885 - 0,036m4) = Kxa3;

Формулы для Wy (лед) и Wy (норм).

Рис. 31. Приближенные радиусы инерции составных сечений

Коэффициенты Kf, Kx, и KS даны в табл. 140, а коэффициенты Ky (лед) и Ky (норм) в табл. 137.

Таблица 137

Значения коэффициентов Ky (ледор.) и Ky (норм) к рис. 30

Значения m

Значения n

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

Ky (лед)

Ky (норм)

0

0,4222

1,0650

2,0330

3,3305

4,9591

6,9196

0,5767

1,3248

2,4051

3,8181

5,5642

7,6432

0,1

0,4472

1,1105

2,1014

3,4231

5,0765

7,0624

0,5721

1,3173

2,3950

3,8056

5,5490

7,6261

0,2

0,4689

1,1484

2,1581

3,4997

5,1739

7,1809

0,5594

1,2960

2,3661

3,7696

5,5064

7,5764

0,3

0,4881

1,1794

2,2038

3,5613

5,2521

7,2760

0,5399

1,2629

2,3208

3,7126

5,4380

7,4968

0,4

0,5055

1,2043

2,2393

3,6091

5,3119

7,3486

0,5154

1,2200

2,2612

3,6374

5,3466

7,3898

0,5

0,5221

1,2240

2,2655

3,6426

5,541

7,3995

0,4871

1,1694

2,1896

3,5450

5,2346

7,2579

0,6

0,5396

1,2399

2,2837

3,6644

5,3800

7,4298

0,4567

1,1130

2,1086

3,4393

5,1046

7,1038

Таблица 138

Значения коэффициентов Kf, Kx, и Ky (см. рис. 28)

Значения m

Значения n

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

KF

Kx

Ky

0

1,0000

2,0000

3,0000

4,0000

5,0000

6,0000

0,1667

0,3333

0,5000

0,6667

0,8333

1,0000

0,1667

0,6667

1,5000

2,6667

4,1667

6,0000

0,1

0,9914

1,9914

2,9914

3,9914

4,9914

5,9914

0,1628

0,3294

0,4961

0,6628

0,8294

0,9961

0,1628

0,6585

1,4875

2,6499

4,1456

5,9746

0,2

0,9657

1,9657

2,9657

3,9657

4,9657

5,9657

0,1524

0,3190

0,4857

0,6524

0,8190

0,9857

0,1524

0,6353

1,4515

2,6010

4,0849

5,9000

0,3

0,9227

1,9227

2,9227

3,9227

4,9227

5,9227

0,1372

0,3038

0,4705

0,6372

0,8038

0,9705

0,1372

0,5992

1,3941

2,5222

3,9337

5,7784

0,4

0,8627

1,8627

2,8627

3,8627

4,8627

5,8627

0,1188

0,2854

0,4521

0,6188

0,7854

0,9521

0,1188

0,5520

1,3173

2,4156

3,8471

5,6119

Таблица 139

Значения коэффициентов Kf, Kx, и Ky (см. рис. 29)

Значения m

Значения n

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

KF

Kx

Ky

0

1,8599

2,8599

3,8599

4,8599

5,8599

6,8599

0,2389

0,4055

0,5722

0,7389

0,9055

1,0722

0,4819

1,1478

2,1381

3,4575

5,1079

7,0904

0,1

1,8495

2,8495

3,8495

4,8495

5,8495

6,8495

0,2389

0,4055

0,5722

0,7389

0,9055

1,0722

0,5030

1,1877

2,1991

3,5407

5,2140

7,2197

0,2

1,8188

2,8188

3,8188

4,8188

5,8188

6,8188

0,2388

0,4054

0,5721

0,7388

0,9054

1,0721

0,5064

1,2025

2,2269

3,5826

5,2704

7,2910

0,3

1,7675

2,7675

3,7675

4,7675

5,7675

6,7675

0,2383

0,4049

0,5716

0,7383

0,9049

1,0716

0,4946

1,1941

2,2236

3,5851

5,2792

7,3062

0,4

1,6955

2,6955

3,6955

4,6955

5,6955

6,6955

0,2371

0,4037

0,5704

0,7371

0,9037

1,0704

0,4696

1,1650

2,1915

3,5505

5,2425

7,2676

0,5

1,6031

2,6031

3,6031

4,6031

5,6031

6,6031

0,2344

0,4010

0,5677

0,7344

0,9010

1,0677

0,4338

1,1170

2,1323

3,4806

5,1620

7,1767

0,6

1,4901

2,4901

3,4901

4,4901

5,4901

6,4901

0,2295

0,3961

0,6628

0,7295

0,8961

1,0628

0,3892

1,0523

2,0482

3,3772

5,0395

7,0351

Таблица 140

Значения коэффициентов Kf, Kx, и Ky (см. рис. 30)

Значения m

Значения n

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

KF

Kx

KS

0

0,8226

1,8226

2,8226

3,8226

4,8226

5,8226

6,8226

0,0852

0,2519

0,4186

0,5853

0,7520

0,9187

1,0854

3,5580

5,5580

7,5580

9,5580

11,5580

13,5580

15,5580

0,1

0,8175

1,8175

2,8175

3,8175

4,8175

5,8175

6,8175

0,0852

0,2519

0,4185

0,5853

0,7520

0,9187

1,0854

3,4395

5,4395

7,4395

9,4395

11,4395

13,4395

15,4395

0,2

0,8021

1,8021

2,8021

3,8021

4,8021

5,8021

6,8021

0,0851

0,2518

0,4185

0,5852

0,7519

0,9186

1,0853

3,3210

5,3210

7,3210

9,3210

11,3210

13,3210

15,3210

0,3

0,7764

1,7764

2,7764

3,7764

4,7764

5,7764

6,7764

0,0849

0,2516

0,4183

0,5850

0,7517

0,9184

1,0851

3,2025

5,2025

7,2025

9,2025

11,2025

13,2025

15,2025

0,4

0,7404

1,7404

2,7404

3,7404

4,7404

5,7404

6,7404

0,0843

0,2510

0,4177

0,5344

0,7511

0,9178

1,0845

3,0840

5,0840

7,0840

9,0840

11,0840

13,0340

15,0840

0,5

0,6942

1,6942

2,6942

3,6942

4,6942

5,6942

6,6942

0,0829

0,2496

0,4163

0,5830

0,7497

0,9164

1,0831

2,9655

4,9655

6,9655

8,9655

10,9655

12,9655

14,9655

0,6

0,6377

1,6377

2,6377

3,6377

4,6377

5,6377

6,6377

0,0805

0,2472

0,4139

0,5806

0,7473

0,9140

1,0807

2,8470

4,8470

6,8470

8,8470

10,8470

12,8470

14,8470

Глава 10

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК

§ 31. Балки однопролетные и консольные

Таблица 141

Формулы для расчета простых балок

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

Опорные реакции А и В

A = P; B = P

Поперечная сила в сечении x, Qx

Моменты в сечении x, Mx

Максимальный момент Mmax и расстояние x0

Mmax = Pa

x0 = от a до (l - a)

Уравнение упругой линии

Наибольший прогиб и его место ymax


при x2 = ~0,54l

Углы поворота φ

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

A = qa; B = qa

Поперечная сила в сечении х, Qx

Моменты в сечении x, Mx

Максимальный момент Mmax и расстояние x0

x0 = от c до d

Уравнение упругой линии

-

Наибольший прогиб и его место ymax

-

Углы поворота φ

-

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

Поперечная сила в сечении x, Qx

Моменты в сечении x, Mx

Максимальный момент Mmax и расстояние x0

Уравнение упругой линии

Наибольший прогиб и его место ymax

при x = 0,5193l

Углы поворота φ

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

Поперечная сила в сечении x, Qx

Моменты в сечении x, Mx

Максимальный номент Mmax и расстояние x0

x0 = 0

x0 = l

x0 = 0

x0 = 0

Уравнение упругой линии

-

Наибольший прогиб и его место ymax

-

Углы поворота φ

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

A = 0

A = P

A = ql

A = P

A = P

Поперечная сила в сечении x, Qx

Qx = 0

Qx = P

Моменты в сечении x, Mx

Mx = M0

Минимальный момент Mmin и расстояние x0

Mmax = M0;

x0 = от 0 до l

Mmin = -Pl;

x0 = 0

x0 = 0

x0 = 0

x0 = 0

Уравнение упругой линии

Наибольший прогиб и его место ymax

при x = l

при x = l

при x = l

при x = l

при x = l

Углы поворота φ

φ1 = 0;

φ1 = 0;

φ1 = 0;

φ1 = 0;

φ1 = 0;

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

A = P

A = qb

A = qa

A = B = P

Поперечная сила в сечении x, Qx

Q1 = P;

Q1 = qb;

Q2 = q(l - x2)

Q1 = q(a - x);

Q2 = 0

Qc = -P;

Qc = P

Qc = -qxc;

Qa = A - qx

Моменты в сечении x, Mx

Минимальный момент Mmin и расстояние x0

при x1 = 0

при x1 = 0

при x1 = 0

На участке AB

Уравнение упругой линии

Наибольший прогиб и его место ymax

при x2 = l

Прогиб посередине:

В середине:

Углы поворота φ

*

Прогиб на концах:

Упругая линия между A и B представляет дугу круга радиуса ρ

 

Схема нагрузки; эпюры M, Q и линия прогибов

 

Опорные реакции A и B

 

Поперечная сила в сечении x, Qx

Q1 = -P;

Q2 = 0

 

Моменты в сечении x, Mx

На участке AB:

На участке CA:


(на участке AP);


(на участке PB)

 

Минимальный момент Mmin и расстояние x0


(под грузом P)

 

Уравнение упругой линии

На участке AB:

На консолях:

На участке AB:

На участке AB:

На участке CA:

На участке BD:

На участке AP:

На участке Pb

 

Наибольший прогиб и его место ymax

при x = 0,577l

Прогиб под грузом P:

Прогиб в любом сечении консоли на расстоянии x1 от A до B

ymax в пролете:

прогиб в c:

Максимальный прогиб на расстоянии:

при a > b

при b > a

 

Таблица 142

Опорные моменты и опорные реакции балки с одним защемленным и другим свободно опертым концом (момент инерции постоянен)

Схема загружения

Опорные реакции

Опорные моменты

B = p - A

B = 2p - A

A = 0,233pl;

B = 0,433pl

Таблицa 143

Коэффициенты K для определения величин опорных моментов балки MB защемленной одним концом при действии на нее различных видов нагрузок, а также при осадке опор

Формулы момента MB

Схемы нагрузки

Значения коэффициента α

 

 

0

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

 

 

Значение коэффициента K

-KPl

0,000

0,0855

0,1440

0,1785

0,1920

0,1875

0,1680

0,1365

0,0960

0,0495

0,000

-KPl

0,000

0,0495

0,0900

0,1355

0,1680

0,1875

0,1920

0,1785

0,1440

0,0855

0,000

-KPl

0,000

0,1350

0,2400

0,3150

0,3600

0,3750

0,3600

0,3150

0,2400

0,1350

0,000

-KPl

0,000

0,0355

0,0480

0,0420

0,0240

0

-0,0240

-0,0420

-0,0480

-0,0355

0,00

+KM

1,000

0,7150

0,4600

0,2350

0,0400

-0,1250

-0,2600

-0,3650

-0,4400

-0,4850

-0,5000

0,000

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

-Kql2

0,000

0,0045

0,0162

0,0325

0,0512

0,0703

0,0882

0,1035

0,1152

0,1225

0,1250

-Kql2

0,000

0,0025

0,0098

0,0215

0,0368

0,0547

0,0738

0,0925

0,1088

0,1205

0,1250

-Kql2

0,000

0,0187

0,0370

0,0546

0,0710

0,0860

0,0990

0,1098

0,1180

0,1232

0,1250

-Kql2

0,000

0,0070

0,0260

0,0540

0,0880

0,1250

-

-

-

-

-

-Kql2

0,000

0,0020

0,0064

0,0110

0,0144

0,0156

0,0144

0,0110

0,0064

0,0020

0,000

-Kql2

0,000

0,0030

0,0105

0,0207

0,0319

0,0427

0,0520

0,0587

0,0623

0,0623

0,0584

-Kql2

0,000

0,0017

0,0065

0,0142

0,0241

0,0354

0,0471

0,0577

0,0657

0,0694

0,0567

-Kql2

0,000

0,0045

0,0170

0,0349

0,0560

0,0781

-

-

-

-

-

-Kql2

0,000

0,0016

0,0057,

0,0118

0,0193

0,0276

0,0363

0,0448

0,0529

0,0603

0,0657

-Kql2

0,000

0,0009

0,0033

0,0073

0,0127

0,0193

0,0253

0,0349

0,0431

0,0511

0,0584

-Kql2

0,000

0,0024

0,0090

0,0191

0,0320

0,0469

-

-

-

-

-

-Kql2

0,000

0,1226

0,1160

0,1059

0,0930

0,0781

-

-

-

-

-

-Kq0l2

0,0307

0,0725

0,0748

0,0842

0,0900

0,0959

0,1017

0,1075

0,1134

0,1192

0,1250

Таблица 144

Опорные моменты и опорные реакции балки, защемленной двумя концами (момент инерции постоянен)

Схема загружения

Опорные реакции

Опорные моменты

B = qb - A

A = B = P

A = B = P

MA = MB = -0,222Pl

A = B = 1,5P

MA = MB = -0,313Pl

A = B = 2P

MA = MB = -0,4Pl

MA = 0;

MB = +M


Таблица 145

Коэффициенты KA и KB для определения величин опорных моментов балки, защемленной двумя концами

Формулы моментов

Схемы нагрузки

Значение коэффициента α

 

 

0,0

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,0

MA

MB

 

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

-KAPl

-KBPl

0

0

0,0810

0,0090

0,1280

0,0320

0,1470

0,0630

0,1440

0,0960

0,1250

0,1250

0,0960

0,1440

0,0630

0,1470

0,0320

0,1280

0,0090

0,0810

0

0

-KAPl

-KBPl

0

0

0,0090

0,0090

0,1600

0,1600

0,2100

0,2100

0,2400

0,2400

0,2500

0,2500

-

-

-

-

-

-

-

-

0

0

-KAPl

-KBPl

0

0

0,0711

-0,0711

0,0960

-0,0960

0,0840

-0,0840

0,0480

-0,0480

0

0

-0,0480

0,0480

-0,0840

0,0840

-0,0960

-0,0960

-0,0711

0,0711

0

0

-MKA

-MKB

1,000

0

0,6293

0,1700

0,3200

0,2800

0,0700

0,3300

-0,1200

0,3200

-0,2500

0,2500

-0,3200

0,1200

-0,3300

-0,0700

-0,2800

-0,3200

-0,1700

-0,6293

0

1,000

0

0

0,10

-0,10

0,20

-0,20

0,30

-0,30

0,40

-0,40

0,50

-0,50

0,60

-0,60

0,70

-0,70

0,80

-0,80

0,90

-0,90

1,00

-1,00

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0043

0,0003

0,0151

0,0023

0,0290

0,0070

0,0437

0,0149

0,0573

0,0261

0,0684

0,0396

0,0763

0,0543

0,0811

0,0683

0,0830

0,0790

0,0833

0,0833

-KAql2

-KB

0

0

0,0125

0,0125

0,0247

0,0247

0,0364

0,0364

0,0473

0,0473

0,0573

0,0573

0,0660

0,0660

0,0732

0,0732

0,0787

0,0787

0,0821

0,0821

0,0833

0,0833

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0047

0,0047

0,0173

0,0173

0,0360

0,0360

0,0587

0,0587

0,0833

0,0833

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0040

-0,0040

0,0128

-0,0128

0,0220

-0,0220

0,0288

-0,0288

0,0312

-0,0312

0,0288

-0,0288

0,0220

-0,0220

0,0128

-0,0128

0,0040

-0,0040

0

0

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0029

0,0002

0,0097

0,0017

0,0181

0,0051

0,0265

0,0109

0,0333

0,0187

0,0379

0,0281

0,0398

0,0377

0,0393

0,0461

0,0367

0,0510

0,0334

0,0500

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0030

0,0030

0,0133

0,0133

0,0232

0,0232

0,0373

0,0373

0,0521

0,0521

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0015

0,0001

0,0054

0,0006

0,0109

0,0019

0,0173

0,0041

0,0240

0,0073

0,0305

0,0115

0,0365

0,0166

0,0418

0,0222

0,0463

0,0280

0,0500

0,0334

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0016

0,0016

0,0060

0,0060

0,0127

0,0127

0,0213

0,0213

0,0312

0,0312

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-KAql2

-KBql2

0,0833

0,0833

0,0817

0,0817

0,0773

0,0773

0,0706

0,0706

0,0620

0,0620

0,0521

0,0521

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-KAqal2

-KBqal2

0,0500

0,0334

0,0533

0,0383

0,0567

0,0433

0,0600

0,0484

0,0633

0,0533

0,0667

0,0583

0,0700

0,0634

0,0733

0,0683

0,0767

0,0733

0,0600

0,0784

0,0833

0,0833

§ 32. Неразрезные многопролетные балки

Общие замечания

Для расчета многопролетных неразрезных балок с равными пролетами приведены таблицы 146 - 160.

В таблицах 146 - 151 для двух- и трехпролетных балок с равными пролетами и постоянным моментом инерции приведены ординаты линий влияния моментов и опорных реакции, а также площади линии влияния моментов и поперечных сил. Ординаты линий влияния для поперечных сил приведены на рисунках 33, 34 и 36.

Очертания остальных линий влияния и обозначения даны на рисунках 32 и 35.

Рис 32. Линии влияния усилий в двухпролетной балке

Рис. 33. Ординаты линий влияния поперечных сил в двухпролетной балке (штриховкой показана линия влияния Q4)

Рис. 34. Ординаты линий влияния поперечных сил в первом пролете трехпролетной балки (штриховкой показана линия влияния Q5)

Рис. 35. Линии влияния усилий в трехпролетной балке

Рис. 36. Ординаты линий влияния поперечных сил для сечений в среднем пролете трехпролетной балки (штриховкой показана линия влияния Q15)

В таблицах 152 - 153 для четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами и постоянными моментами инерции приведены ординаты и площади линий влияния моментов поперечных сил и опорных реакций (рисунки 37 - 38).

Рис. 37. Линии влияния моментов в четырехпролетной балке

Рис. 38. Ординаты линий влияния опорных реакций и поперечных сил в четырехпролетной балке

Таблицы 146 - 153 могут применяться и в том случае, когда пролеты неразрезной балки l1, l2, ...ln неравны между собой, но жесткость балки в пролетах меняется пропорционально их пролетам, т.е. если имеет место отношение  В этом случае следует величине l, являющейся табличным множителем, придавать значения, соответствующие величинам пролетов, на которых расположены ординаты линий влияния M или площади влияния M и Q.

В табл. 155 даются коэффициенты для вычисления фокусных расстоянии в неразрезных балках с постоянным моментом инерции при некоторых соотношениях в длинах пролетов.

В таблицах 156 - 157 для неразрезных балок с постоянными моментами инерции приведены формулы для определения усилии в балках, вызываемых осадками опор.

Для приближенного определения расчетных моментов и опорных реакции в двух- и трехпролетных балках с учетом влияния переменности моментов инерции по длине пролета (наличие прямолинейных или параболических вут) могут быть использованы таблицы 158 - 160.

Моменты для балок с 5 и более пролетами, особенно от подвижной нагрузки, сравнительно мало отличаются от моментов для балки с 4 пролетами. Поэтому на практике при расчете многопролетных балок обычно ограничиваются рассмотрением четырехпролетной балки.

Необходимо помнить, что величина площади и ординаты линии влияния определяются по таблицам путем умножения табличных коэффициентов на множители:

l2 - для площадей линий влияния M,

l -     »         »              »           »       Q,

l -     »      ординат линий влияния М,

где l - длина пролета.

Таблица 146

Ординаты линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 32)

№ ординаты (положение груза P-1)

Ординаты линий влияния y

моментов в сечениях

опорных реакции

х = 0,2l

х = 0,4l

х = 0,5l

х = 0,6l

х = 0,8l

х = 0,9l

х = 1,0l

крайней

средней

M2

M4

M5

M6

M8

M9

M10

A

B

0

0

0

0

0

0

0

0

1,0000

0

1

0,0751

0,0501

0,0376

0,0252

0,0002

-0,0123

-0,0248

0,8753

0,1495

2

0,1504

0,1008

0,0760

0,0512

0,0016

-0,0232

-0,0480

0,7520

0,2960

3

0,1264

0,1527

0,1159

0,0791

0,0054

-0,0311

-0,0683

0,6318

0,4365

4

0,1032

0,2064

0,1580

0,1096

0,0128

-0,0356

-0,0840

0,5160

0,5680

5

0,0813

0,1625

0,2031

0,1438

0,0250

-0,0344

-0,0938

0,4063

0,6875

6

0,0608

0,1216

0,1520

0,1824

0,0432

-0,0264

-0,0960

0,3040

0,7920

7

0,0422

0,0843

0,1054

0,1265

0,0686

-0,0103

-0,0893

0,2108

0,8785

8

0,0256

0,0512

0,0640

0,0768

0,1024

0,0152

-0,0720

0,1280

0,9440

9

0,0115

0,0229

0,0286

0,0344

0,0458

0,0515

-0,0428

0,0573

0,9855

10

0

0

0

0

0

0

0

0

1,000

11

-0,0086

-0,0171

-0,0214

-0,0257

-0,0342

-0,0385

-0,0428

-0,0428

0,9855

12

-0,0114

-0,0288

-0,0360

-0,0432

-0,0576

-0,0648

-0,0720

-0,0720

0,9440

13

-0,0179

-0,0357

-0,0416

-0,0536

-0,0714

-0,0803

-0,0893

-0,0893

0,8785

14

-0,0192

-0,0384

-0,0480

-0,0576

-0,0768

-0,0864

-0,0960

-0,0960

0,7920

15

-0,0188

-0,0375

-0,0469

-0,0563

-0,0750

-0,0844

-0,0938

-0,0938

0,6875

16

-0,0168

-0,0336

-0,0420

-0,0501

-0,0672

-0,0756

-0,0840

-0,0840

0,5680

17

-0,0137

-0,0273

-0,0341

-0,0410

-0,0546

-0,0611

-0,0683

-0,0683

0,4365

18

-0,0096

-0,0192

-0,0240

-0,0288

-0,0384

-0,0432

-0,0480

-0,0480

0,2950

19

-0,0050

-0,0099

-0,0124

-0,0149

-0,0198

-0,0223

-0,0248

-0,0248

0,1495

20

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Множитель

l

1,00

Таблица 147

Площади линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами (см рис. 32)

ω

Плошали линии слиянии

моментов в сечениях

опорых реакций

х = 0,2l

х = 0,4l

х = 0,5l

х = 0,6l

х = 0,8l

х = 0,9l

х = 1,0l

крайней

средней

M2

M4

M5

M6

M8

M9

M10

A

B

ω1

+0,0675

+0,0950

+0,09375

+0,08250

+0,0300

-0,0175

+0,00611

-0,0625

+0,4375

-

ω2

-0,0125

-0,0250

-0,03125

-0,03750

-0,0500

-0,05611

-0,0625

-0,0625

-

ω3

-

-

-

-

-

-

-

-

+1,25

∑ω

+0,055

+0,0700

+0,0625

+0,0450

-0,0200

-0,0675

-0,1250

+0,375

+1,25

Множитель

l2

l

Таблица 148

Площади линий влияния поперечных сил (см. рис. 33) для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами

ω

Плошали линий влияния для поперечных сил в сечениях

х = 0

х = 0,2l

х = 0,4l

х = 0,5l

х = 0,6l

х = 0,8l

х = 0,9l

х = 1,0l

Множитель

Q0

Q2

Q1

Q5

Q6

Q8

Q9

Q10(лев)

-ω1

0

-0,0249

-0,0984

-0,1523

-0,2169

-0,3744

-0,4652

-0,5625

l

+ω1

+0,4375

+0,2624

+0,1359

+0,0898

+0,0544

+0,0119

+0,0027

0

-ω2

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

∑ω

+0,375

+0,175

-0,025

-0,125

-0,225

-0,425

-0,525

-0,625

Таблица 149

Ординаты линий слияния моментов и опорных реакций для трехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 35)

№ ординаты

Ординаты линий влияния y

моментов в сечениях

опорных реакций

х = 0,2l

х = 0,4l

х = 0,6l

х = 0,8l

х = 0,9l

х = 1,0l

х = 1,1l

х = 1,2l

х = 1,5l

крайней

средней

M2

M4

M6

M8

M9

M10

M11

M12

M15

A

B

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1,0000

0

1

0,0747

0,0494

0,0242

-0,0011

-0,0138

-0,0264

-0,0231

-0,0198

-0,0099

0,8736

0,1594

2

0,1498

0,0995

0,0493

-0,0010

-0,0261

-0,0512

-0,0448

-0,0384

-0,0192

0,7488

0,3152

3

0,1254

0,1509

0,0763

+0,0018

-0,0355

-0,0728

-0,0637

-0,0546

-0,0273

0,6272

0,4638

4

0,1021

0,2042

0,1062

0,0083

-0,0406

-0,0896

-0,0784

-0,0672

-0,0336

0,5104

0,6016

5

0,0800

0,1600

0,1400

0,0200

-0,0400

-0,1000

-0,0875

-0,0750